Поиск точки пересечения графиков

Теория

Если графики пересекаются, то у них есть общие точки, которые удовлетворяют обоим уравнениям, а значит, у этих точек совпадают координаты. Поэтому алгоритм решения очень прост: восстановить коэффициенты уравнений и приравнять их, чтобы вычислить одинаковые x. Далее рассчитать соответствующее значение y, если этого требует задание.

Примеры заданий

Пример 1. На изображении представлены графики двух линейных функций. Найти абсциссу точки пересечения графиков.

Пусть
\[
y_1 = kx + b\]
проходит через точки \( A(2; 4) \) и \( B(6; 3) \).

I способ:

$2k + b = 4$
$6k + b = 3$

II способ
\[
k = tg \alpha
\]

так как:
\[
\alpha > 90^\circ \Rightarrow \text{ вычислим }tg \beta, где \beta -смежный угол
( \alpha + \beta = 180^\circ ) .
\]

Отсюда:
\[
tg \beta = \frac{2}{8} \Rightarrow tg \alpha = tg(180^\circ — \beta) = -\frac{1}{4}
\]

Итак:

$k = -0.25 \Rightarrow 2(-0.25) + b = 4$
$b = 4.5$

Тогда:
\[
y_1 = -0.25x + 4.5.
\]
Восстановим:

$y_2 = ax + c$
$C(-5;4) \quad D(-2;-3)$

Давай здесь решим системой (но можно и через $\tg$ $\alpha$), просто найди удобный треугольник):
\[
\begin{cases}
-2a + c = -3 \\
-5a + c = 4
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
3a = — 7 \\
-2a + c = — 3
\end{cases}
\begin{cases}
a = — 7\over 3 \\
c = -23\over 3
\end{cases}
\]

\[
y_2 = -\frac{7}{3}x — 7\frac{2}{3}
\]

Решаем уравнение:
\[
-0.25x + 4.5 = -\frac{7}{3}x — 7\frac{2}{3}
\]

Переписываем:
\[
-\frac{1}{4}x + \frac{7}{3}x = -7\frac{2}{3} — 4\frac{1}{2}
\]

\[
\frac{25}{12}x = -12\frac{1}{6}
\]

Теперь решим для x:
$x = -\frac{146}{25}$
$x = -5 \frac{21}{25}$
$x = -5.84$

Проверяем: по графику можно заметить, что точка как раз находится между –5 и –6. Многие допускают ошибку и говорят, что по рисунку сразу видно, что она равна –5,5. Но нет, не попадайся в эту ловушку!

Ответ: –5,84.

Пример 2. На изображении представлены графики функций
$f(x)=5x-23$
и
$g(x)=ax2+bx+c,$
которые пересекаются в точках A и B. Найти ординату точки B.

Восстановим уравнение

$g(x)=ax^2+bx+c$

и снова без системы.

Вершина А (5;2), коэффициент а = –1.
Отрицательно, так как ветви направлены вниз, а число 1, потому что виден характерный изгиб верхушки: от вершины по одной клеточке вниз и в стороны (можно переместить в начало координат и убедиться в этом).

$g(x)=a(x-x_0)^2+y_0=–(x-5)^2+2=–x^2+10x-23$

Приравняем уравнения графиков функций:

$–x^2+10x-23=5x-23$
$–x^2+5x=0$
$–x(x-5)=0$

x = 0 или x = 5
Так как x = 5 — координата А, значит B (0; y).
Вычислим ординату B: в любое уравнение подставляем x = 0 и получаем, что y = –23.

Ответ: –23.

Пример 3. На изображении представлены графики функций
$f(x)=2x^2+21x+58$
и
$g(x)=ax^2+bx+c,$
которые пересекаются в точках A и B. Найти абсциссу точки B.

Для начала нужно понять, какому уравнению соответствует каждый график.

Нижняя парабола пересекает ось ординат в точке 7, значит, она задана уравнением g(x), потому что в f(x) пересечение в точке 58 (значение коэффициента c).

Восстановим уравнение

$g(x)=ax^2+bx+c$

и снова без системы.
Вершина имеет координаты (–3;–1), коэффициент а = 1, потому что классический изгиб верхушки: от вершины по одной клеточке вверх и в стороны (можно переместить в начало координат и убедиться в этом).

$g(x)=a(x-x_0)^2+y_0=(x+3)^2-1=x^2+6x+8$

Приравняем уравнения графиков функций:

$x^2+6x+8=2x^2+21x+58$
$–x^2-15x-50=0$
$(x+10)(x+5)=0$

x = –10 или x = –5
Так как x = –5 — координата А, значит, x = –10 является абсциссой B.

Ответ: –10.

Источник: https://100points.ru/wiki/math/poisk-tochki-peresecheniya-grafikov/